من طرف مفارقةزينون الايلي ج 2 :مفارقات لا انقساميةالزمان و المكان
3 المفارقة التي تفترض أن المكان و الزمان كامتدادنا مؤلفان من عناصر لا منقسمة"السهم و الملعب "
يعتقد زينون أن الزمان و المكان غير منقسمين إلى اللانهاية , كي نوضح هده الإشكالية سأضطر إلى الخوض في المفارقتين معا -السهم و الملعب –
1-3 مفارقة السهم
يلخص زينون مفارقته في هدا الإطار بقوله "لو تصورنا أن سهما انطلق من نقطة ما لكي يصل إلى نقطة أخرى , فإن السهم لن يتحرك, الآن الجسم يكون في لأن غير متحرك."(4) مثلا لو سألني أحدكم أين يوجد السهم سأجيب وأقول : إن السهم يوجد في النقطة أ أو ب أو ج.ففي كل لحظة أو الآن يوجد السهم. وجود السهم وجود ساكنا باستمرار إذن الحركة مستحيلة حسب زينون .
يمكن أن نلخص مفارقة زينون على الشكل التالي : إن الجسم –السهم-إما أن يتحرك في مكانه أو خارج مكانه , و ليس هناك افتراض ثالث ,و بما اننا نلاحظ أن الجسم لا يتحرك إلا في مكانه , لأنه إذا تحرك غادره ,وهو أيضا لا يستطيع أن يتحرك خارج مكانه لأانه موجود في مكانه و فكيف يتحرك خارج مكانه وهو موجود في مكانه ,لكن هل يعقل تصور خط لا نهائي – مسار لانهائي للسهم, ألا يمكن القول أنه من المستحيل تصور هذا الخط .لأن كل خط قابل للقسمة , إذن من المستحيل قسمة المقدار إلى اللا نهاية .ثم ما هي هذه اللانهاية التي يتبجح بها معظم الرياضيين و بعض الفلاسفة ,وهل يجوز تعريف اللانهاية كما فعل برتراند راسل حين قال: "إن تعريف اللانهاية هو أمر لا نهائي في التعقيد ,لأن اللانهاية ذاتها متضمنة في التعريف نفسه" (5). تم ألا يكون الحساب اللانهائي في الصغر و الذي اقترحه كل من لا يبنيز ونيوتن تحت اسم حساب التكامل و التفاضل , مجرد أشباحا لكميات مرتحلة كما عبر عنه ذلك جورج براكلي في كتابه "التحليلي" .
إن المفارقة الحقيقة التي تواجهنا في هذا الإطار, لو تصورنا الحركة متناهية, بوصفها مؤلفة من عدد كبير من الحركات على فواصل مكانية لا متناهية في الصغر ’ خلال فترات زمنية لا متناهية في الصغر. عندئذ سيوجهنا السؤال التالي: ما هو مقدار المكان الذي يشغله السهم خلال موضع لا متناهي في الصغر ؟ هل هو كبير كالسهم أو صغير نسبيا ؟
قبل الخوض في الحلول التي قدمت تاريخيا لمفارقة السهم, رأيت أنه من الضروري الإشارة إلى مفارقة الملعب ذلك أن الثانية ترتبط كثيرا بالأولى.
2-3مفارفة الملعب
تعرف هده المفارقة الصفوف المتوازية, خد مثلا ثلاثة صفوف متوازية A و B و C. ونقسم كل صف الى تلاتة قطعة متساوية A(A1;A2;A3) و B (B1;B2;B3) و C(C1;C2;C3).
نفترض أن الصف الأول A ’ يظل تابتا في حين يتحرك الصفين الآخرين B و C في اتجاهين متعاكسين , وبسرعة واحدة .
A1 A2 A3
B1 B2 B3 →
← C1 C2 C3
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3
الحالة الثانية → الحالة الأولى
الانتقال من الحالة الأولى إلى الحالة الثانية يمثل لب المفارقة ف B3 قطعت المسافة من A2 إلى A3 في زمن T=1.
لكن في نفس الزمن T =1 تكون قد قطعت مسافة مضاعفة من C1 إلى C3 وهده مفارقة فلا يمكن أن يساوي ضعف الزمن نصفه.
4الحل المعاصر لمفارقة السهم و الملعب
1_4 حل مفارقة السهم
تعتقد رياضيات و فزيا ء القرن 19 أن مفارقة السهم ناتجة عن خلط مبدئي بين مفهوم السرعة اللحظية و السكون المبدئي , تبعا لزينون الأيلي فإن الحالة التي يكون عليها السهم في موقع جزئي من حالة السكون ة ذلك لانتفاء الشرعية عن مفهوم السرعة اللحظية غير الصفرية , حسب زينون عندما نجمع سرعاته الجزئية يكون الحاصل صفرا لان السهم في كل لحظة يكون ساكنا .
لقد اعتقدت فيزياء و رياضيات القرن 19أن هذا التصور غير مقبول لأنه عندما نفهم السرعة الحظية كدالة مشتقة للموقع سندرك جيدا السبب الحقيقي الذي يجعلنا نرجع السرعة اللحظية غير الصفرية إلى الموضع المتحرك .
1_1_4 السرعة اللحظية
قبل أن أتكلم عن السرعة اللحظية و عن الدور الذي لعبته هذه الأخيرة في حل مفارقة السهم و كذا مفارقة الملعب سأتطرق في هذه اللحظة للحديث عن نظرية الحركة, وذلك لسبب بسيط هو اعتقد مني بأن نظرية الحركة هو حجر الأساس الذي تقوم عليه السرعة اللحظية
• الحركة و السرعة
السرعة هي الوصف المادي لحركة جسم ما بالنسبة إلى المسافة المقطوعة و المدة الزمنية.
نفترض أن هناك جسم متحرك يقطع المسافة AB في زمن معين T سرعة الجسم هي المسافة مقسومة على الزمن V=D/T
حيث: D هي المسافة المقطوعة, و T هو الزمن المستغرق, V هي سرعة المتحرك.
داخل نظرية الحركة يجب أن نميز بين نوعين من الحركة, الحركة المستقيمة المنتظمة و الحركة المستقيمة المتغيرة بالانتظام
**الحركة المستقيمة المنتظمة
تتميز هذه الحركة بسرعة تابثة . فلو افترضنا جسم متحرك يقطع مسافة معينة على مراحل.
من خلال الجدول و المنحنى نلاحظ
زمن بالتواني Tز 1 2 3 4 5
المسافة بالأمتار D ف 2 4 6 8 10
أن السرعة ثابتة و يمكن أن نعبرعن تبوثية الرسعة بالمعادلة التالي
=f (t) = v.t X
أي x=v.t
تفاضل تفاضل
X=f(t)=v.t=x.v=dx/dt=cte. V. a=dv/dt=0
تكامل تكامل
أي أن التسارع منعدم
***الحركة المستقيمة المتغيرة بالانتظام
نفترض أن شخص قطع مسافات وفق لحظات زمنية مختلفة.وفق الجدول التالي:
الزمان بالساعاتt/h 1 2 3 4
المسفة بكلم d/km 10 30 70 130
نلاحظ أن السرعة تتغير بالاستمرار و بوسع تابت أي أن الحركة تتسارع بقيمة ثابتةa=cte
انطلاقا من المعادلات السابقة
تفاضل تفاضل تفاضل
A=cte a=dv/dtv=at+v. v=dx/dt=at+v. x=1/2at²+v.t+x.(6)
تكامل تكامل تكامل
إذن التسارع تابت
سنعود الآن إلى السرعة اللحظية, فإذا أخدنا المنحى رقم 2 --الذي يخص الحركة المستقيمة المتغيرة بالانتظام حيث التسارع فيها ثابت –.فإذا حاولنا قياس السرعة خلال مدد زمنية أصغر و فكلما صغرت الفواصل الزمنية إلا وتقاربت نقط انعراج المنحنى و في هده الحالة توصف السرعة اللحظية كمتجهة حركة vector, تساوي السرعة اللحظية حاصل الإزاحة المتناهية في الصغر.
يمكن أن نعبر عنها بالعلاقة التالية: تساوي السرعة اللحظية ti تقريبا السرعة المتوسطة بين ti+1و ti-1.
Vi= xi-1. xi+1/ti+1-ti-1
إذا افترضنا أن للسهم سرعة لحظية عند اللحظة t1 في النقطةM, سنجد أن متجهة السرعة هي:
لدينا MM'=OM'-OM إذن V(t)= lim M M'/ t'-t
t T'
من خلال العلاقتين نستنتج أن متجهة السرعة اللحظية عند اللحظةt , تساوي مشتقة متجهة الموضع في نفس اللحظة t .
إذن
d OM/dt= V (t)
إذن ستصبح السرعة اللحظية مشتقة لموضع الجسم بالنسبة إلى الزمن , و تعتبر هذه المشتقة نهاية لمعدل السرعة خلال فواصل زمنية غير صفرية متناقصة .فإذا افترضنا أن السهم انطلق بسرعة مستقيمة منتظمة سنجد أنه يقطع المسافة التالية :
-n
n/1 ………………………… و 1/10/1/100s و 1m/10sو m/1s 10
عندما تقترب الفواصل الزمنية من اللحظة t فإن معدل السرعة يقترب من النهاية بمقدار 10m/s’ يعني أن السرعة اللحظية للسهم في اللحظة t1 على طول مساره هي 10m/s, وسرعته في كل لحظة هي 10 متر في الثانية.
كان اعتقاد زينون خاطئ, لأنه اعتبر السرعة اللحظية صفرية , و هذا غير ممكن , وقد وضحت ذلك عن طريق شرح مفهوم السرعة و علاقته بنظرية الحركة .
لكن يظل هناك شيء ما غامضا, توجهنا مشكلة فيما يتعلق بمفهوم السرعة اللحظية ,هذه الأخيرة تم تعريفها كنهاية لتتابع معدل السرعات على فواصل زمنية متناهية , لكن إن لم يكن لدينا بعض المعلومات عما يقع بين تلك الفواصل فلن نستطيع أن نقول شيء بهذا الصدد.
فعلى سبيل المثال: إذا كنا نعرف أن مركز السهم كان في الموضعM1) ) في اللحظة t1)) . فإن هذه المعرفة لن تزودنا بمعرفة سرعته في تلك اللحظة, ومادمنا لا نعرف ما كان يفعله السهم قريب من t1 فلن نستطيع التمييز بين السرعة اللحظية و السكون اللحظي.
لعل هذا القصور الرياضي جعل بفيلسوف مثل برجسون إلى قول أن مفارقة السهم تتأذى بنا إلى قضية غير معقولة , ومن تم كان استنتاجه القائل أن مفارقة السهم تؤكد أن الوصف الرياضي القائم على الحركة هو صف خاطئ.(7)
لو رجعنا إلى الفيزياء الحديثة "الكلاسيكية " التي تعالج الحركة كعلاقة دالية, وقد بين هذا الأمر فيما سبق.
x=1/2at²+v.t+x. .
حاول الفيزيائيون حل مفارقة السهم , باعتبار دوال حركة الجسم كأشياء متحركة ,لكن هذا الامر لن يساعد بأي شكل من الأشكال بحل هذه المفارقة .
لكن قبل أن أستمر في شرح الحركة كدالة يجب أن يكون لدينا تصور واضح عن الدوال الرياضية,عرفت الدوال الرياضية تطور كبير مع كل من بولازانو , كوشي و بيانو وفريجه. يمكن أن ألخص مفهوم الدالة بكثير من الإيجاز لأن المقام هنا لا يسمح بالبحث المتعمق في مجال الدوال.
عرف كوشي الدالة بوصفها علاقة تربط بين مجموعة من الأعداد تنمي الى مجموعة ما , بأعداد أخرى من مجموعة أخرى .تعرف المجموعة الأولى باسم مجموعة أعداد المتغير المستقل , في حين تسمى الثانية باسم مجموعة أعداد المتغير المعتمد
F(x)=x²
4 3 2 1 x
16 9 4 1 F(x)=x²
يعرف المتغير (f(x باسم مجموعة الأعداد المعتمدة
يعرف المتغير x باسم مجموعة الأعداد المستقلة.
خلاصة
لنحاول الآن تطبيق أو استثمار كل العمليات السابقة على السهم, نفترض ان للسهم له سرعة منتظمة 10m/s .
عند اللحظةt.=0 يكون x.=0.
بعد أن يتحرك السهم , تكون معادلة حركته على الشكل التالي : x=10t .
عندما يتحرك السهم من النقطة A(x=10;t=1) إلى النقطة B(x=30;t=3) . يكون قد أنجز حركة مستقيمة منظمة لأننا أمام دالة ذات متغير من الدرجة الأولى
لكن كيف أمكننا الانتقال من A إلى B ؟
يمكننا الإجابة بدون تردد أن السهم شغل كل نقطة من نقاط المسار[AB] 10≤x≤30 و ≤t≤3 1
وفق المعادلة التالية . x=10t
عندما أقول أن الحركة بوصفها دالة رياضية فأنا أقصد هنا و أن هناك مزاوجة بين المواضع المكانية و الزمنية .
يمكننا الحصول على السرعة اللحظية عن طريق تفاضل الدالة أو إيجاد مشتقاتها . و الدالة المشتقة تعبر عن اللحظة الأولى لانطلاق الحركة .
إذن فلا معنى لمقولة السكون اللحظي, لأنه لا وجود لسكون لحظي و ما يوجد هو السرعة اللحظية أي مختلف المواضع التي يأخذها السهم في لحظات زمنية مختلفة.
الاعتراض
لنأخذ السهم مرة أخرى, لنفترض أنه انطلاق من النقطة A إلى النقطة B, و نفترض أن النقطة C هي منتصف القطعة [AB].
فلو سألنا عن الطريقة التي تقدم بها السهم من النقطة A إلى النقطة C. ألن تصيبنا الدهشة إزاء ماهية تلك النقطة, لأن هناك نقطة تسبق تلك النقطة بالضرورة, غير أن هذا التساؤل يفتقر إلى الدقة الرياضية ,لأننا نفكر في مسار السهم كممر متصل ’ و انطلاقا من تعريف الاتصال الرياضي فإنه لا وجود لنقطة تالية لأي نقطة مميزة "فبين نقطتين هناك عدد لا متناهي من النقط" من هذا المنطلق فإن تساؤلنا عن وجود تلك النقط نابعا من مصدر سيكولوجي, ألا وهو مفهوم العادة , لقد اعتدنا انه لكل نقطة سابق و لاحق و يرجع سبب هذه المطالبة السيكولوجية إلى عدم خبرتنا بالزمان كمتصل من اللحظات غير ذات الدوام , و إنما كمتسلسلة من الأنات المنفصلة .
2-4 حل مفارقة الملعب "حل و. سالمون Salmon, W.,"
قدم سالمون في كتابه "نظرة معاصرة لمفارقة زينون" رؤية جديدة إذ "لكي نفهم مفارقة الملعب يجب أن نعتبر أن المكان و الزمان مكونان من ذرا زمكانية-- و يستحضر سالمون هنا مركب الزمكان الأينشتايني-- ذات الحجم غير الصفري (
non-zero size من هنا سيشتغل الجسم المتحرك أنات منفصلة و متحركة و يقترح سالمون أن ننطلق من حيت انتهى زينون—انظر الحالة الثانية من مفارقة الملعب –
A1 A2 A3 A1 A2 A3
B1 B2 B3 B1 B2 B3
C1 C2 C3 C1 C2 C3
لقد كانت C1 قبل الحركة على يمين B2 لكنها الآن على يسارها إذن متى مر ببعضهما البعض, و إذا افترضنا أنهما في كل لحظة التقيا
, يعني أن هناك أنات أخرى جزئية بين كل أنين, و طالما لم يفترض ذلك سالمون, فليس هناك الآن كي يمران ببعضهما البعض وهو مالم يحدث أبدا.
الاحالة
( 4 ) علي سامي النشار و آخرون (1970) : ديموقريطس مرجع سابق ص 323
(5) برتراند راسل (بدون تاريخ) : مقدمة للفلسفة الرياضية , ترجمة : محمد مرسي أحمد , مراجعة : احمد فؤاد ألاهواني , مؤسسة سجل العرب ’ 1970 ص ص 1168117
(6) كتب العلوم الفيزيائية [1995] السنة التانية باكلوريا علوم رياضية , علوم تجريبيبة , درس الحركة ص ص(25_39)
(7) هنري برغسون, التطور الخالق, ترجمة : محمد محمود قاسم , الهيئة المصرية العامة للكتاب , القاهرة , 1984 ص290
) 175 _185Pp( Salmon, W., “ A contemporary look at Zeno’s paradoxes ”
3 المفارقة التي تفترض أن المكان و الزمان كامتدادنا مؤلفان من عناصر لا منقسمة"السهم و الملعب "
يعتقد زينون أن الزمان و المكان غير منقسمين إلى اللانهاية , كي نوضح هده الإشكالية سأضطر إلى الخوض في المفارقتين معا -السهم و الملعب –
1-3 مفارقة السهم
يلخص زينون مفارقته في هدا الإطار بقوله "لو تصورنا أن سهما انطلق من نقطة ما لكي يصل إلى نقطة أخرى , فإن السهم لن يتحرك, الآن الجسم يكون في لأن غير متحرك."(4) مثلا لو سألني أحدكم أين يوجد السهم سأجيب وأقول : إن السهم يوجد في النقطة أ أو ب أو ج.ففي كل لحظة أو الآن يوجد السهم. وجود السهم وجود ساكنا باستمرار إذن الحركة مستحيلة حسب زينون .
يمكن أن نلخص مفارقة زينون على الشكل التالي : إن الجسم –السهم-إما أن يتحرك في مكانه أو خارج مكانه , و ليس هناك افتراض ثالث ,و بما اننا نلاحظ أن الجسم لا يتحرك إلا في مكانه , لأنه إذا تحرك غادره ,وهو أيضا لا يستطيع أن يتحرك خارج مكانه لأانه موجود في مكانه و فكيف يتحرك خارج مكانه وهو موجود في مكانه ,لكن هل يعقل تصور خط لا نهائي – مسار لانهائي للسهم, ألا يمكن القول أنه من المستحيل تصور هذا الخط .لأن كل خط قابل للقسمة , إذن من المستحيل قسمة المقدار إلى اللا نهاية .ثم ما هي هذه اللانهاية التي يتبجح بها معظم الرياضيين و بعض الفلاسفة ,وهل يجوز تعريف اللانهاية كما فعل برتراند راسل حين قال: "إن تعريف اللانهاية هو أمر لا نهائي في التعقيد ,لأن اللانهاية ذاتها متضمنة في التعريف نفسه" (5). تم ألا يكون الحساب اللانهائي في الصغر و الذي اقترحه كل من لا يبنيز ونيوتن تحت اسم حساب التكامل و التفاضل , مجرد أشباحا لكميات مرتحلة كما عبر عنه ذلك جورج براكلي في كتابه "التحليلي" .
إن المفارقة الحقيقة التي تواجهنا في هذا الإطار, لو تصورنا الحركة متناهية, بوصفها مؤلفة من عدد كبير من الحركات على فواصل مكانية لا متناهية في الصغر ’ خلال فترات زمنية لا متناهية في الصغر. عندئذ سيوجهنا السؤال التالي: ما هو مقدار المكان الذي يشغله السهم خلال موضع لا متناهي في الصغر ؟ هل هو كبير كالسهم أو صغير نسبيا ؟
قبل الخوض في الحلول التي قدمت تاريخيا لمفارقة السهم, رأيت أنه من الضروري الإشارة إلى مفارقة الملعب ذلك أن الثانية ترتبط كثيرا بالأولى.
2-3مفارفة الملعب
تعرف هده المفارقة الصفوف المتوازية, خد مثلا ثلاثة صفوف متوازية A و B و C. ونقسم كل صف الى تلاتة قطعة متساوية A(A1;A2;A3) و B (B1;B2;B3) و C(C1;C2;C3).
نفترض أن الصف الأول A ’ يظل تابتا في حين يتحرك الصفين الآخرين B و C في اتجاهين متعاكسين , وبسرعة واحدة .
A1 A2 A3
B1 B2 B3 →
← C1 C2 C3
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3
الحالة الثانية → الحالة الأولى
الانتقال من الحالة الأولى إلى الحالة الثانية يمثل لب المفارقة ف B3 قطعت المسافة من A2 إلى A3 في زمن T=1.
لكن في نفس الزمن T =1 تكون قد قطعت مسافة مضاعفة من C1 إلى C3 وهده مفارقة فلا يمكن أن يساوي ضعف الزمن نصفه.
4الحل المعاصر لمفارقة السهم و الملعب
1_4 حل مفارقة السهم
تعتقد رياضيات و فزيا ء القرن 19 أن مفارقة السهم ناتجة عن خلط مبدئي بين مفهوم السرعة اللحظية و السكون المبدئي , تبعا لزينون الأيلي فإن الحالة التي يكون عليها السهم في موقع جزئي من حالة السكون ة ذلك لانتفاء الشرعية عن مفهوم السرعة اللحظية غير الصفرية , حسب زينون عندما نجمع سرعاته الجزئية يكون الحاصل صفرا لان السهم في كل لحظة يكون ساكنا .
لقد اعتقدت فيزياء و رياضيات القرن 19أن هذا التصور غير مقبول لأنه عندما نفهم السرعة الحظية كدالة مشتقة للموقع سندرك جيدا السبب الحقيقي الذي يجعلنا نرجع السرعة اللحظية غير الصفرية إلى الموضع المتحرك .
1_1_4 السرعة اللحظية
قبل أن أتكلم عن السرعة اللحظية و عن الدور الذي لعبته هذه الأخيرة في حل مفارقة السهم و كذا مفارقة الملعب سأتطرق في هذه اللحظة للحديث عن نظرية الحركة, وذلك لسبب بسيط هو اعتقد مني بأن نظرية الحركة هو حجر الأساس الذي تقوم عليه السرعة اللحظية
• الحركة و السرعة
السرعة هي الوصف المادي لحركة جسم ما بالنسبة إلى المسافة المقطوعة و المدة الزمنية.
نفترض أن هناك جسم متحرك يقطع المسافة AB في زمن معين T سرعة الجسم هي المسافة مقسومة على الزمن V=D/T
حيث: D هي المسافة المقطوعة, و T هو الزمن المستغرق, V هي سرعة المتحرك.
داخل نظرية الحركة يجب أن نميز بين نوعين من الحركة, الحركة المستقيمة المنتظمة و الحركة المستقيمة المتغيرة بالانتظام
**الحركة المستقيمة المنتظمة
تتميز هذه الحركة بسرعة تابثة . فلو افترضنا جسم متحرك يقطع مسافة معينة على مراحل.
من خلال الجدول و المنحنى نلاحظ
زمن بالتواني Tز 1 2 3 4 5
المسافة بالأمتار D ف 2 4 6 8 10
أن السرعة ثابتة و يمكن أن نعبرعن تبوثية الرسعة بالمعادلة التالي
=f (t) = v.t X
أي x=v.t
تفاضل تفاضل
X=f(t)=v.t=x.v=dx/dt=cte. V. a=dv/dt=0
تكامل تكامل
أي أن التسارع منعدم
***الحركة المستقيمة المتغيرة بالانتظام
نفترض أن شخص قطع مسافات وفق لحظات زمنية مختلفة.وفق الجدول التالي:
الزمان بالساعاتt/h 1 2 3 4
المسفة بكلم d/km 10 30 70 130
نلاحظ أن السرعة تتغير بالاستمرار و بوسع تابت أي أن الحركة تتسارع بقيمة ثابتةa=cte
انطلاقا من المعادلات السابقة
تفاضل تفاضل تفاضل
A=cte a=dv/dtv=at+v. v=dx/dt=at+v. x=1/2at²+v.t+x.(6)
تكامل تكامل تكامل
إذن التسارع تابت
سنعود الآن إلى السرعة اللحظية, فإذا أخدنا المنحى رقم 2 --الذي يخص الحركة المستقيمة المتغيرة بالانتظام حيث التسارع فيها ثابت –.فإذا حاولنا قياس السرعة خلال مدد زمنية أصغر و فكلما صغرت الفواصل الزمنية إلا وتقاربت نقط انعراج المنحنى و في هده الحالة توصف السرعة اللحظية كمتجهة حركة vector, تساوي السرعة اللحظية حاصل الإزاحة المتناهية في الصغر.
يمكن أن نعبر عنها بالعلاقة التالية: تساوي السرعة اللحظية ti تقريبا السرعة المتوسطة بين ti+1و ti-1.
Vi= xi-1. xi+1/ti+1-ti-1
إذا افترضنا أن للسهم سرعة لحظية عند اللحظة t1 في النقطةM, سنجد أن متجهة السرعة هي:
لدينا MM'=OM'-OM إذن V(t)= lim M M'/ t'-t
t T'
من خلال العلاقتين نستنتج أن متجهة السرعة اللحظية عند اللحظةt , تساوي مشتقة متجهة الموضع في نفس اللحظة t .
إذن
d OM/dt= V (t)
إذن ستصبح السرعة اللحظية مشتقة لموضع الجسم بالنسبة إلى الزمن , و تعتبر هذه المشتقة نهاية لمعدل السرعة خلال فواصل زمنية غير صفرية متناقصة .فإذا افترضنا أن السهم انطلق بسرعة مستقيمة منتظمة سنجد أنه يقطع المسافة التالية :
-n
n/1 ………………………… و 1/10/1/100s و 1m/10sو m/1s 10
عندما تقترب الفواصل الزمنية من اللحظة t فإن معدل السرعة يقترب من النهاية بمقدار 10m/s’ يعني أن السرعة اللحظية للسهم في اللحظة t1 على طول مساره هي 10m/s, وسرعته في كل لحظة هي 10 متر في الثانية.
كان اعتقاد زينون خاطئ, لأنه اعتبر السرعة اللحظية صفرية , و هذا غير ممكن , وقد وضحت ذلك عن طريق شرح مفهوم السرعة و علاقته بنظرية الحركة .
لكن يظل هناك شيء ما غامضا, توجهنا مشكلة فيما يتعلق بمفهوم السرعة اللحظية ,هذه الأخيرة تم تعريفها كنهاية لتتابع معدل السرعات على فواصل زمنية متناهية , لكن إن لم يكن لدينا بعض المعلومات عما يقع بين تلك الفواصل فلن نستطيع أن نقول شيء بهذا الصدد.
فعلى سبيل المثال: إذا كنا نعرف أن مركز السهم كان في الموضعM1) ) في اللحظة t1)) . فإن هذه المعرفة لن تزودنا بمعرفة سرعته في تلك اللحظة, ومادمنا لا نعرف ما كان يفعله السهم قريب من t1 فلن نستطيع التمييز بين السرعة اللحظية و السكون اللحظي.
لعل هذا القصور الرياضي جعل بفيلسوف مثل برجسون إلى قول أن مفارقة السهم تتأذى بنا إلى قضية غير معقولة , ومن تم كان استنتاجه القائل أن مفارقة السهم تؤكد أن الوصف الرياضي القائم على الحركة هو صف خاطئ.(7)
لو رجعنا إلى الفيزياء الحديثة "الكلاسيكية " التي تعالج الحركة كعلاقة دالية, وقد بين هذا الأمر فيما سبق.
x=1/2at²+v.t+x. .
حاول الفيزيائيون حل مفارقة السهم , باعتبار دوال حركة الجسم كأشياء متحركة ,لكن هذا الامر لن يساعد بأي شكل من الأشكال بحل هذه المفارقة .
لكن قبل أن أستمر في شرح الحركة كدالة يجب أن يكون لدينا تصور واضح عن الدوال الرياضية,عرفت الدوال الرياضية تطور كبير مع كل من بولازانو , كوشي و بيانو وفريجه. يمكن أن ألخص مفهوم الدالة بكثير من الإيجاز لأن المقام هنا لا يسمح بالبحث المتعمق في مجال الدوال.
عرف كوشي الدالة بوصفها علاقة تربط بين مجموعة من الأعداد تنمي الى مجموعة ما , بأعداد أخرى من مجموعة أخرى .تعرف المجموعة الأولى باسم مجموعة أعداد المتغير المستقل , في حين تسمى الثانية باسم مجموعة أعداد المتغير المعتمد
F(x)=x²
4 3 2 1 x
16 9 4 1 F(x)=x²
يعرف المتغير (f(x باسم مجموعة الأعداد المعتمدة
يعرف المتغير x باسم مجموعة الأعداد المستقلة.
خلاصة
لنحاول الآن تطبيق أو استثمار كل العمليات السابقة على السهم, نفترض ان للسهم له سرعة منتظمة 10m/s .
عند اللحظةt.=0 يكون x.=0.
بعد أن يتحرك السهم , تكون معادلة حركته على الشكل التالي : x=10t .
عندما يتحرك السهم من النقطة A(x=10;t=1) إلى النقطة B(x=30;t=3) . يكون قد أنجز حركة مستقيمة منظمة لأننا أمام دالة ذات متغير من الدرجة الأولى
لكن كيف أمكننا الانتقال من A إلى B ؟
يمكننا الإجابة بدون تردد أن السهم شغل كل نقطة من نقاط المسار[AB] 10≤x≤30 و ≤t≤3 1
وفق المعادلة التالية . x=10t
عندما أقول أن الحركة بوصفها دالة رياضية فأنا أقصد هنا و أن هناك مزاوجة بين المواضع المكانية و الزمنية .
يمكننا الحصول على السرعة اللحظية عن طريق تفاضل الدالة أو إيجاد مشتقاتها . و الدالة المشتقة تعبر عن اللحظة الأولى لانطلاق الحركة .
إذن فلا معنى لمقولة السكون اللحظي, لأنه لا وجود لسكون لحظي و ما يوجد هو السرعة اللحظية أي مختلف المواضع التي يأخذها السهم في لحظات زمنية مختلفة.
الاعتراض
لنأخذ السهم مرة أخرى, لنفترض أنه انطلاق من النقطة A إلى النقطة B, و نفترض أن النقطة C هي منتصف القطعة [AB].
فلو سألنا عن الطريقة التي تقدم بها السهم من النقطة A إلى النقطة C. ألن تصيبنا الدهشة إزاء ماهية تلك النقطة, لأن هناك نقطة تسبق تلك النقطة بالضرورة, غير أن هذا التساؤل يفتقر إلى الدقة الرياضية ,لأننا نفكر في مسار السهم كممر متصل ’ و انطلاقا من تعريف الاتصال الرياضي فإنه لا وجود لنقطة تالية لأي نقطة مميزة "فبين نقطتين هناك عدد لا متناهي من النقط" من هذا المنطلق فإن تساؤلنا عن وجود تلك النقط نابعا من مصدر سيكولوجي, ألا وهو مفهوم العادة , لقد اعتدنا انه لكل نقطة سابق و لاحق و يرجع سبب هذه المطالبة السيكولوجية إلى عدم خبرتنا بالزمان كمتصل من اللحظات غير ذات الدوام , و إنما كمتسلسلة من الأنات المنفصلة .
2-4 حل مفارقة الملعب "حل و. سالمون Salmon, W.,"
قدم سالمون في كتابه "نظرة معاصرة لمفارقة زينون" رؤية جديدة إذ "لكي نفهم مفارقة الملعب يجب أن نعتبر أن المكان و الزمان مكونان من ذرا زمكانية-- و يستحضر سالمون هنا مركب الزمكان الأينشتايني-- ذات الحجم غير الصفري (
non-zero size من هنا سيشتغل الجسم المتحرك أنات منفصلة و متحركة و يقترح سالمون أن ننطلق من حيت انتهى زينون—انظر الحالة الثانية من مفارقة الملعب –A1 A2 A3 A1 A2 A3
B1 B2 B3 B1 B2 B3
C1 C2 C3 C1 C2 C3
لقد كانت C1 قبل الحركة على يمين B2 لكنها الآن على يسارها إذن متى مر ببعضهما البعض, و إذا افترضنا أنهما في كل لحظة التقيا
, يعني أن هناك أنات أخرى جزئية بين كل أنين, و طالما لم يفترض ذلك سالمون, فليس هناك الآن كي يمران ببعضهما البعض وهو مالم يحدث أبدا.
الاحالة
( 4 ) علي سامي النشار و آخرون (1970) : ديموقريطس مرجع سابق ص 323
(5) برتراند راسل (بدون تاريخ) : مقدمة للفلسفة الرياضية , ترجمة : محمد مرسي أحمد , مراجعة : احمد فؤاد ألاهواني , مؤسسة سجل العرب ’ 1970 ص ص 1168117
(6) كتب العلوم الفيزيائية [1995] السنة التانية باكلوريا علوم رياضية , علوم تجريبيبة , درس الحركة ص ص(25_39)
(7) هنري برغسون, التطور الخالق, ترجمة : محمد محمود قاسم , الهيئة المصرية العامة للكتاب , القاهرة , 1984 ص290
) 175 _185Pp( Salmon, W., “ A contemporary look at Zeno’s paradoxes ”