منتديات طلبة فلسفة بوزريعة

مرحبا بكم في منتديات طلبة بوزريعة للعلوم الاجتماعية والانسانية قسم الفلسفة خاصة

منتديات طلبة بوزريعة منتدى حواري ترفيهي يقدم يد المساعدة لكل الطلبة .................زريارتكم تشرفنا

    مفارقة زينون الأيلي حول اللاتناهي: رؤية رياضية معاصرة

    شاطر
    avatar
    المدير العام
    Admin

    عدد المساهمات : 190
    نقاط : 425
    تاريخ التسجيل : 16/01/2010

    مفارقة زينون الأيلي حول اللاتناهي: رؤية رياضية معاصرة

    مُساهمة من طرف المدير العام في الجمعة مارس 26, 2010 2:59 am

    مفارقة زينون الأيلي حول اللاتناهي: رؤية رياضية معاصرة


    تقديم: مفارقات زينون الايلي
    قدم زينون الأيلي مفارقته الشهيرة في مجموعتين : الأولى ضد الكثرة و الثانية ضد الحركة -- و هي الأكثر أهمية – سأتكلم في مقبل الصفحات عن مفارقته حول الحركة .
    يقدم زينون مفارقته في امتناع الحركة في أربعة مفارقات أساسية : 1مفارقة أخيل و السلحفاة .2 مفارقة القسمة الثنائية.3 مفارقة السهم 4. مفارقة الملعب .
    يمكن أن نلخص هذه المفارقات في مجموعتين أساسيتين:
    1 مفارقة حول اللا تناهي "المفارقة 1و2"
    2 مفارقة تفترض أن المكان و الزمان كامتدادنا مؤلفان من عناصر لا منقسمة ." المفارقة 3و4"
    1 مفارقات اللاتناهي
    1-1 مفارقة أخيل و السلحفاة
    تعد مؤلفات أرسطو هي دليلنا الوحيد لمعرفة مفارقة الحركة عند زينون الأيلي , يقول أرسطو في كتابه حول الفزياء(1) ,ناقلا عن زينون الايلي في مفارقته الشهيرة : إن أسرع عدائين أثينا لن يستطيع اللاحق بأشد الأشياء بطئا في الحركة , إذا كان هذا الشيء سابقا له بمسافة .فإذا تصورنا أخيل و هو أسرع عداء في اليونان القديمة, و أن هناك سلحفاة تسبقه بمسافة ما.
    فإذا بدأ الاثنان الحركة معا و في لحظة واحدة فان أخيل لن يستطيع اللاحق ابدآ بالسلحفاة , ذلك أنه كي يلحق بها, يجب أن يقطع الفواصل الزمنية التي تفصله عنها , و هكذا كلما اقترب منها إلا و سبقته . إذن أخيل لن يلحق بالسلحفاة, لان المسافة الفاصلة بينها تحتوي على عدد لا نهائي.

    س(س)=0 س(أ)=0
    1__15/16___7/8______3/4_________1/2____________________.
    ( ن)
    1 مسار أخيل بالنسبة إلى السلحفاة سيكون على هدا الشكل 1/2 .3/4 . 7/8 . 15/ 16..............1-1/2
    إذن أخيل لن يلحق بالسلحفاة.
    أدعي في هده اللحظة, انه من المستحيل دراسة مفارقة اللا تناهي عند زينون , بالاعتماد فقط على مفارقة أخيل و السلحفاة , بل انه من الضروري دراسة مفارقة القسمة الثنائية كي نفهم مشكل اللا تناهي عند زينون .مفارقة أخيل و القسمة الثنائية ترتبطان بشكل حدسي في ذهن زينون .
    2-1 مفارقة القسمة الثنائية
    يمكن أن نعبر عن هده المفارقة في شكلين : أحدهما تقدمي progressive , و أخر تراجعي Rogressive .
    1-2-1 مفارقة القسمة الثنائية في شكلها التقدمي
    ترتبط مفارقة القسمة الثنائية في شكلها التقدمي بمفارقة أخيل و السلحفاة, فحسب هدا الشكل فان أخيل لا يمكنه أن يصل إلى نهاية أي حلبة سوء مع السلحفاة أو مع غيرها.بل و لن يصل إلى نقطة بدايتها أصلا ’ فقبل أن يصل أخيل إلى نهاية هده المسافة يجب أن يقطع نصف المسافة, وقبل أن يقطع النصف يجب عليه أن يقطع نصف النصف... (ن)
    يمكن أن نعبر عنها بالمتتالية السابقة 1/2 .3/4 . 7/8 . 15/ 16..............1-1/2 العلاقة (1)
    2-2-1 مفارقة القسمة الثنائية في شكلها التراجعي
    مفاد هذا الشكل من المفارقة, أن العداء لكي ينطلق من نقطة أ نحو نقطة ب يجب أنت يقطع نصفها, و قبل أن يقطع النصف يجب أن يقطع نصف النصف... إذن العداء لن ينطلق أصلا
    يمكن أن نعبر عن هده المفارقة بالشكل التالي أ__1/16__1/8____1/4________1/2________________ب.
    او بالمتتالية التالية (ن)
    1/2. 1/4 . 1/8 . 1/16. 1/32 ..........................................................1/2 العلاقة (2)
    بما أنه ليس لهذه المتتالية طرف أول فلن يكون لعداء بداية أصل.
    2 حل مفارقة اللا تناهي في الرياضيات الحديثة "نموذج أوغسطين كوشي 1779-1857 "
    إن المفارقة التي واجهها زينون هي أن العداء لا يستطيع أن يقطع عدد لا متناهي من الفواصل المكانية و الزمنية غير الصفرية , و تكمن الصعوبة المنطقية في هذا الإطار في عدم وجود نهاية لمتسلسلة الفواصل الكسرية الناتجة عن القسمة بين الصفر و الواحد , تقترب هذه القيم من الواحد في مفارقة أخيل و القسمة الثنائية في شكلها التقدمي . ومن الصفر في مفارقة القسمة الثنائية في شكلها التراجعي .
    1- 2 الحل الذي قدمه كوشي
    مما لا شك فيه أن مفارقة زينون خلفت ورائها العديد من ردود الأفعال الفلسفية و الرياضية , غير أن معظم هده الردود كانت تحتاج في غالبها إلى التصورات المنطقية الدقيقة مثل : مجال الحساب التحليلي اللانهائي في الصغر مثل الدوال الرياضية و الاتصال و النهايات و المتتاليات و التفاضل .
    إن الإشكالية التي واجهها كوشي في هذا الإطار هو اصطدامه بمفهوم النهاية و علاقته باللانهاية . لقد حل كوشي مفارقة اللا تناهي عند زينون بالاعتماد على مجموعة من العلاقة التجريدية و التي تقوم بالأساس على حسابي التكامل و التفاضل و الاتصال ,تصور كوشي مفهوم النهاية على أنه تتالي لانهائي لمجموعة مرتبة من الحدود تتناظر بعلاقة الواحد بالواحد مع مجموعة من الأعداد الطبيعية .(2)

    تكون المتتالية متقاربة اذا كانت تقبل نهاية مثل :
    1= (lim f(x
    X__x0

    نأخذ المتتالية رقم (1) نطبق عليها قاعدة النهاية.
    n) n)
    نفترض أن f(n) =1-1/2 1/2 .3/4 . 7/8 . 15/

    نحاول البحث عن نهاية الدالة f(n) بحيث n يؤول n إلى +∞
    (n) (+∞)
    1-1/2 =1-1/2 =1 = Lim f(n)
    n +∞ (n)
    لأن 0= lim 1/2
    +∞ n (n)
    تم نأخذ المتتالية رقم 2 ونقوم بنفس الأمر 1/2. 1/4. 1/8. 1/16......1/2 (+∞) (n)
    Lim f(n) =1/2=1/2=1/2
    +∞ n
    (n)
    لأن 0= lim 1/2 = 0
    +∞ n
    لكن كيف أمكننا الانتقال من 1 إلى 2
    يعتقد كوشي أن هدا الاعتراض مقبولة فالانتقال من 1الى يمر عبر جمع الحدود بعضها الى بعض . للتوضيح سأخذ المتتالية رقم 1 ,و أوضح الأمر . نعرف هده المتتالية باعتبارها متتالية ذات حدود لا متناهية
    (n)

    1/2+1/4+1/8+1/16+.....1/2
    نأخد v1; v2; v3 . بحيث
    .......... V1=v0+v1, V2=v1+v2, V3=v1+v2+v3 لأن Vn=Vn-1+Vn+Vn+1
    من حدود لا متناهية نستنتج أن أنه آدا كانت للمتتالية v1+v2+v3……..vn نهاية فأن المتتالية اللا متناهية تصبح متقاربة convergence (3) و لعل هذا ما بيناه من خلال العلاقتين 1 و 2
    أي مهما يكن

    V1=1/2
    V2=1/2+1/4=3/4
    V3=1/2+1/4+1/8=7/8
    V4=1/2+1/4+1/8+1/16=15/16.
    استنتاجات
    1 عندما تكون النتيجة 1 كما في الحالة الأولى فأخيل سيصل إلى السلحفاة في النهاية
    (n) (+∞)
    1-1/2 =1-1/2 =1 = Lim f(n)
    n +∞ 2 عندما تكون النتيجة 0 كما في الحالة الثانية فأخيل لن يتحرك من مكانه كما في الحالة الثانية
    وفق المعادلة التالية (+∞) (n)
    Lim f(n) =1/2=1/2=1/2
    +∞ n
    0=

    الإحالة
    ) علي سامي النشار و آخرون (1970) : ديموقريطس, فيلسوف الذرة و أثره في الفكر الفلسفي حتى عصورنا الحديثة , الهيئة المصرية العامة للكتاب , الإسكندرية . ص 318
    (2)Salmon, W., “ A contemporary look at Zeno’s paradoxes ”, in Peter Van Inwagen & Deam W. Zimmerman (eds.),“ Metaphysics : The big questions ”, Inwagen & Deam W. Zimmerman (eds.),“ Metaphysics : The big questions ”, Blackwell publishers Inc., Malden, Massachusetts, 1998, P. 133.
    Ibid p p(133_169)(3

    [i]

      الوقت/التاريخ الآن هو الخميس نوفمبر 23, 2017 7:05 am